アルペンスキーレースにおける ラインどり と 最速降下線

スキーレースでは始点(スタート地点)から多数の旗門を通過して終点(ゴール地点)に到達する時間を競います。 多数の旗門を通過して行く際に、どのような径路(ライン)を滑走するかが重要です。 実際のレースでは、チームの経験と各選手の能力によりラインを決めていると思います。 どのようなラインどりをすればよいかを工学的に考えてみました。 この問題を私(平野陽一;中央大学名誉教授))は最適制御問題ととらえました。 最適制御は工学のあらゆる分野で使用されています。 例えば、航空機が地上から高度20kmまでどのような径路で上昇すれば一番早いかという問題です。 直線的に上昇する(径路長は最短)のが早いわけではありません。

ここでは、始点と終点の2点のみを通るという簡単な問題を考えます。 計算結果だけでは理解がむつかしいのではと思いましたので、実験画像もお見せします。 まず、計算で最速径路を求めました。 始点と終点を結ぶ最速径路と直線径路の到達時間を計算して比較しました。 計算では摩擦抵抗は無視しました。 注意していただきたいのは、求めた最速径路は2点だけを結ぶ最速径路で、多数の点を通る最速径路とは異なります。

問題を 「始点(x=0, y=0), 終点 (x=-200mm, y=300mm; ここで、y を横座標とします) を通る最速径路を求める」 としました。 始点と終点を含む平面(径路を含む平面)が垂直(α=90度)の場合を基本とします。 この場合の直線径路と計算で求めた最速径路を下図に示します。

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